多元线性回归模型

表达式

多元线性回归模型的一般形式为

Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi i=1,2,…,n

其中 k为解释变数的数目，βj（j=1,2,…,k)称为回归係数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函式的随机表达式。它的非随机表达式为

E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki

βj也被称为偏回归係数（partial regression coefficient)

计算模型

一元线性回归是一个主要影响因素作为自变数来解释因变数的变化，在现实问题研究中，因变数的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变数来解释因变数的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变数与因变数之间是线性关係时，所进行的回归分析就是多元性回归。　设y为因变数X1,X2…Xk为自变数，并且自变数与因变数之间为线性关係时，则多元线性回归模型为：

Y=b0+b1x1+…+bkxk+e

其中，b0为常数项，b1,b2…bk为回归係数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归係数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归係数，等等。如果两个自变数x1,x2同一个因变数y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：

y=b0 +b1x1 +b2x2 +e

建立多元线性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变数的选择，其準则是：

(1)自变数对因变数必须有显着的影响，并呈密切的线性相关；

(2)自变数与因变数之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；

(3)自变数之间应具有一定的互斥性，即自变数之间的相关程度不应高于自变数与因变数之因的相关程度；

(4)自变数应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。

多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标準方程组为

解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得

多元线性回归模型