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补集

补集

补集一般指绝对补集,即一般地,设S一个集合AS的一个子集,由S中所有不属于A元素组成的集合,叫做子集AS中的绝对补集。在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。

基本介绍

中文:补集外文名:complementary set别名:余集表达:∁UA套用学科:数学相关术语:并集 交集

定义

在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。

相对补集(差集)示<a href=/tag/yitu.htm target=_blank class=infotextkey><a href=http://www.zzww.net/tag/yitu.htm target=_blank class=infotextkey>意图</a></a>相对补集(差集)示意图

1、相对补集
AB 是集合,则AB 中的相对补集是这样一个集合:其元素属于B但不属于AB - A = { x| x∈B且x∉A}。
2、绝对补集
若给定全集U,有A⊆U,则AU中的相对补集称为A绝对补集(或简称补集),写作∁UA。
注意学习概念,首先要理解全集的相对性,补集符号∁UA有三层含义
1、A是U的一个子集,即A⊆U;
2、∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U;
3、∁UA是由U中所有不属于A的元素组成的集合,∁UA与A没有公共元素,U中的元素分布在这两个集合中。

全集与补集

全集是一个相对的概念,只包含所研究问题中所涉及的所有元素,补集只相对于相应的全集而言。如:我们在整数範围内研究问题,则Z为全集,而当问题拓展到实数集时,则R为全集,补集也只是相对于此而言。

相关运算

补律与差集

根据补集的定义,∁uA={x|x∈U且x∉A},B-A={x|x∈B且x∉A}
A∩∁UA=∅
A∪∁UA=U

De Morgan定律

摩根定律,又叫反演律,用文字语言可以简单的叙述为:两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集,两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集。
若集合A、B是全集U的两个子集,则以下关係恆成立:
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),即“交之补”等于“补之并”;
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),即“并之补”等于“补之交”。

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