代数格

格论论述次序及包含的性质，是布尔代数的推广，现已成为代数的重要组成部分，并在泛函分析、赋值论、几何、逻辑、计算机科学、图论等方面有广泛的套用。

代数格是格论中的重要研究对象。代数格(algebraic lattice)亦称紧緻生成格。是一种套用广泛的格。设L是备格，a∈L，若对XL，a≤∨X，存在X的有限子集X1，使得a≤∨X1，则称a为L的紧緻元。若备格L的任一元均为紧緻元的并，则称L为代数格。

代数格是伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)于1967年引入的，但他并未假设完备性。

基本 介绍

中文名：代数格外文名：algebraic lattice领域：数学别称：紧緻生成格提出者：伯克霍夫实例：任意格的契约格提出时间：1967年

基础 知识

格论

格论论述次序及包含的性质，是布尔代数的推广，现已成为代数的重要组成部分，并在泛函分析、赋值论、几何、逻辑、计算机科学、图论等方面有广泛的套用。所谓格即指在集合L中定义两个代数运算∨和∧，这两个代数运算满足：

(1)a∨a = a ， a∧ a = a(幂等律);

(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交换律);

(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(结合律);

(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，

记作(L，≤)。格论中最重要的概念是集合上的半序关係。格的种类有分配格、模格、完全格等。

格

“格”一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。

例如，一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按（被包含）所成的顺序；一组命题间按蕴涵所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。

格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及机率论等许多数学分支中都有套用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关系的研究。在数理逻辑中，关于不可解度的研究。

格的定义：设（L，≤）是偏序集，若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界，则称（L，≤）是格（lattice），为了方便，这样的格成为偏序格。

格h格设(L，£)是一个偏序集，如果对于"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一个最大下界(记为inf{a,b})和一个最小上界(记为sup{a,b}),则称(L，£)是一个偏序格.

子集在L中有上确界和下确界的偏序集，就是格。

h代数格在L定义二元运算*和·，满足：对"a,b,cÎL,有

(1) 交换律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)结合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

则称(L，*，·)是代数格。

用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的运算。

h对偶式由1，0，和可以代表格中的任意元素的变数通过+，×运算连结起来的式子，就是格中的表达式，记作f。将f中的0换成1，1换成0，+换成×，×换成+所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f。h

h对偶原理：若f为真，则f为真。

备格

备格亦称完备格。又称完全格。一类重要的格。它是伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)于1933年引入的非代数概念。若格L的任意子集均有上确界及下确界，则L称为备格。非空备格是有界的；备格的定义是自对偶的。任意集合A的集格P(A)、格L的契约格C(L)、群G的子群格、环的理想格、有限格等都是备格；但实数集R按通常数的大小关係构成的格不是备格；若在R中填上±∞，则集R构成备格。

契约格

契约格是一类重要的格。指格的所有契约关係所构成的格。设C(L)表示格L上的所有契约关係的集合，若θ，φ∈C(L)，定义θ≤φ若且唯若x≡y(θ)有x≡y(φ)，则C(L)关于上面定义的≤构成一个格，称为契约格。船山(Funayama，N.)和中山正(Nakayama，T.)于1942年证明了任意格的契约格是完全布劳威尔格，也是分配的代数格。契约格的性质不仅在格论中，而且在格序代数、闭包代数、非结合格、多值逻辑等分支中都有广泛的套用。

代数格概念

代数格(algebraic lattice)亦称紧緻生成格。是一种套用广泛的格。设L是备格，a∈L，若对XL，a≤∨X，存在X的有限子集X1，使得a≤∨X1，则称a为L的紧緻元。若备格L的任一元均为紧緻元的并，则称L为代数格。任意格的契约格是代数格。格L是代数格若且唯若L与某个含0的并半格的理想格同构，这是代数格的一个很有用的性质。代数格是伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)于1967年引入的，但他并未假设完备性。代数格对契约格的刻画、格的表示理论和无限维代数理论的研究均有重要作用。

伯克霍夫简介

伯克霍夫是美国数学家。生于普林斯顿，早年在哈佛大学和英国剑桥大学就读，1932年获哈佛大学学士学位，后获理学博士学位。1936年起，任教于哈佛大学，1938—1941年，为助理教授，1941—1946年，为副教授，1946—1982年，任数学教授，1982年退休。美国全国科学院、美国艺术与科学学院院士。1958年，任美国数学会副主席;1971—1972年，任美国数学协会副主席;1967—1968年，任美国工业与套用数学会主席。.

伯克霍夫的工作涉及格论、近世代数、核反应堆理论的流体动力学、声学、偏微分方程的数值解，以及科学计算。他曾和菲力普斯(Phillips，R.S.)定义了取值于局部凸拓扑线性空间的函式的积分。他在1940年出版的《格论》，经重新组织并增扩内容于1967年出版了第三版，除全面阐述了有关理论外，还介绍了格论在分析、集合论(包括拓扑和测度论)等方面的套用，还涉及了有序系统及二进制运算等。他在把代数方法以及其他一些高水準的数学方法套用到别的科学领域方面有重要贡献，并因此曾于1978年获美国数学会G.D.伯克霍夫套用数学奖。他一生髮表学术论文近200篇，着有《流体动力学》(1950)、《椭圆方程的数值解》(1971)、《近世代数概论》(1941，与麦克莱恩(MacLane，S.)合着)和《代数》(1967)等专着。

代数格实现点 数据索引

近几年来，基于内容的多媒体信息检索成为热点研究课题，国外推出了多种基于内容的图像信息检索系统。例如，IBM研製的QBIC系统採用颜色直方图、纹理和形状等特徵检索图像，并用R*树实现多维特徵数据的索引； MIT媒体实验室研製的Photobook系统实现了形状、纹理和人脸特徵的抽取和检索；Columbia大学研製的isualSEEk系统是视觉特徵搜寻引擎，而WebSEEk系统则是面向Web的文本/图像搜寻引擎。.从上述几种图像检索系统来看，它们几乎都是先从图像中提取图像特徵，然后基于特徵计算图像之间的相似度,最终实现基于内容和支持相似性查询的图像检索系统。为了实现快速检索，最常用的方法是对特徵资料库建立索引。多年来，人们陆续提出了多种索引技术，例如K-d树、MB树、R树、R*树、X树、FastMap和VP树等。这些索引技术可用于精确匹配查询，也可以实现相似查询。目前研究和使用较多的是R树及其变种，它最早由Guttman提出，适合于对点数据和区域数据进行索引。

提出一种新的用于点数据的组织、索引和快速检索方法,它的主要特点是既利用了代数格的良好性质，又利用了Hash高效查找能力。当资料库大小给定时，理论上讲，本方法的检索性能主要取决于点数据的维数、密度、所选用的代数格和Hash表的性能，但是在实际套用中检索性能可能还要取决于其它客观因素，例如磁碟访问速度等。能实现八维点数据的索引，得到了有参考价值的实验数据，我们开发基于其它代数格的、不同维数的索引结构。

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